Алексей Карасёв родился 20 декабря 1920 г. в деревне Дровосеково Великолукского района Псковской губернии (ныне — Куньинский район Псковской области) в крестьянской семье. После окончания восьми классов школы работал секретарём в сельском совете. В 1940 г. Карасёв был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную армию. С июня 1941 г. — на фронтах Великой Отечественной войны. Сражался на Западном, Калининском, 2-м Прибалтийском, 2-м Белорусском, 1-м Белорусском фронтах.
Всю войну провёл в составе 412-го стрелкового полка 1-й стрелковой дивизии — от границы с Гродно до Москвы и от Москвы до Германии. Он был трижды ранен, и после лечения вернулся в свой полк.
Командир пулемётного расчёта, старший сержант А. М. Карасёв, отличился в Люблин-Брестской операции. 26 июля 1944 г., во время наступления советских войск на город Бяла-Подляска (Польша), расположенный в 11-12 км к югу от Бреста, две роты противника попытались прорваться в тыл советского батальона. А. М. Карасёв заставил противника отступить, открыв огонь из пулемёта. Его расчёт принял активное участие в отражении шестнадцати вражеских контратак.
Звание Героя Советского Союза было присвоено А. М. Карасёву 24 марта 1945 г. В представлении к званию было написано: «Старший сержант Карасёв — кадровый пулемётчик. Вступив в бой в первый день войны у города Гродно, все три года Отечественной войны сражался с немцами командиром пулемётного расчёта „Максим“. В совершенстве владея материальной частью и техникой ведения огня с разных позиций, тов. Карасёв в каждом бою проявляет тактическую выдумку, помогающую ему использовать всю огневую мощь „Максима“ и наносить наибольший урон врагу». За проявленную в боях храбрость и отвагу А. М. Карасёв был награждён орденами Ленина (1945), Красного Знамени, Славы III степени и медалями.
После войны А. М. Карасёв был демобилизован, окончил партийное училище (1948) и до 1957 г. занимался советской и партийной деятельностью. Жил и работал в городе Великие Луки, затем переехал в город Чернигов (Украинская ССР). Депутат Верховного Совета СССР 2-го созыва (1946–1950). Вместе с женой Александрой Фёдоровной воспитал сына и дочь.
Алексей Маркович много болел, прожил недолго, умер 9 января 1964 г., похоронен в селе Харитоново Куньинского района.
В 1964 г. в Бресте (микрорайон Граевка) его именем названа улица, в 1966 г. на одном из домов установлена мемориальная доска. В 1985 г. в Бресте на ул. Красногвардейской, 59, у здания средней школы № 16 был установлен бронзовый бюст Героя. После реставрации 8 мая 2008 г. бюст был переустановлён на территории школы на пересечении улиц Красногвардейская и Карасева. Повторное открытие памятника было приурочено к Дню Победы, и происходило при участии ветеранов Великой Отечественной войны, руководства района и города. На аллее «Их именами названы улицы в Бресте» установлен его барельеф. С 22 августа 2023 г. средняя школа № 16 в Бресте носит имя Героя Советского Союза Алексея Марковича Карасёва. Одна из экспозиций в школьном музее посвящена А. М. Карасёву. Награды героя хранятся в фондах Мемориального комплекса «Брестская крепость-герой».